2015年全国统一高考文科数学试卷（四川卷）

设集合 $A＝\left\{x|－1＜x＜2\right\}$,集合 $B＝\left\{x|1＜x＜3\right\}$,则 $A\cup B＝$（）

设向量 $\mathit{a}\mathbf{=}(2,4)$与向量 $\mathit{b}=(x,6)$共线，则实数 $x=$（）

某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是（）

设 $a,b$为正实数，则" $a>b>1$"是" ${\log }_{2}a>{\log }_{2}b>0$"的（）

下列函数中,最小正周期为 $\pi$的奇函数是（）

执行如图所示的程序框图，输出 $S$的值为（  ）

过双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 $A,B$两点，则 $\left|AB\right|=$（）

某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储藏温度 $x$（单位： $C$）满足函数关系 $y=e^{kx+b}$（ $e=2.718\cdots$为自然对数的底数， $k,b$为常数）.若该食品在 $0$ $C$的保鲜时间是 $192$小时，在 $22$ $C$的保鲜时间是小时，则该食品在 $33$ $C$的保鲜时间是（）

设实数 $x$, $y$满足，则 $xy$的最大值为（  ）

设直线 $l$与抛物线 $y^2=4x$相交于 $A,B$两点，与圆 $C:(x-5{)}^2+y^2=r^2(r>0)$相切于点 $M$，且 $M$为线段 $AB$中点，若这样的直线 $l$恰有4条，则 $r$的取值范围是（   ）

设 $i$是虚数单位，则复数 $i-\frac{1}{i}=$.

$lg0.01+{\log }_{2}16=$.

已知 $\sin \alpha +2\cos \alpha =0$，则 $2\sin \alpha \cos \alpha -{\cos }^{2^{}}\alpha$的值是.

在三棱住 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $\angle BAC={90}^{°}$，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点 $M,N,P$分别是 $AB,BC,B_1{C}_1$的中点，则三棱锥 $P-A_{1}MN$的体积是.

已知函数 $f\left(x\right)=2^x,g\left(x\right)=x^2+ax$（其中 $a\in R$）.对于不相等的实数 $x_1,x_2$，设 $m=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2},n=\frac{g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$及任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=-n$.
其中真命题有（写出所有真命题的序号）.

设数列 $\left\{an\right\}\left(n＝1,2,3\dots \right)$的前 $n$项和 $S_n$满足 $S_n=2a_n-a_3$,且 $a_1,a_2＋1,a_3$成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$的前 $n$项和为 $T_n$,求 $T_n$.

一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客 $P_1，P_2,P_3，P_4，P_5$的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P₁因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（Ⅰ）若乘客 $P_1$坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

（Ⅱ）若乘客 $P_1$坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 $P_1$坐到5号座位的概率.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：

（Ⅰ）请按字母 $F,G,H$标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面 $BEG$与平面 $ACH$的位置关系,并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线 $DF\perp$平面 $BEG$.

已知 $A$、 $B$、 $C$为 $△ABC$的内角， $\tan A$、 $tanB$是关于方程 $x^2＋px－p＋1＝0（p\in R）$两个实根.
（Ⅰ）求 $C$的大小
（Ⅱ）若 $AB＝1$， $AC＝\sqrt{6}$，求 $p$的值

如图,椭圆E: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$,点 $P\left(0,1\right)$在短轴 $CD$上,且 $\stackrel{\rightharpoonup }{PC}·\stackrel{\rightharpoonup }{PD}=-1$

（Ⅰ）求椭圆 $E$的方程；
（Ⅱ）设 $O$为坐标原点,过点 $P$的动直线与椭圆交于 $A、B$两点.是否存在常数 $\lambda$,使得 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}·\stackrel{\rightharpoonup }{OB}+\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{PA}·\stackrel{\rightharpoonup }{PB}$为定值？若存在,求 $\lambda$的值;若不存在,请说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=-2\ln x+x^2-2ax+a^2$，其中 $a>0$.
（Ⅰ）设 $g\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数，讨论 $g\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）证明：存在 $a\in (0,1)$，使得 $f\left(x\right)\ge 0$恒成立，且 $f\left(x\right)=0$在区间 $(1,+\infty )$内有唯一解.