2010年高考试题分项版理科数学之专题十一 概率统计

盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间 $\left[5,40\right]$ 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度小于20 $mm$ 。

某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立.
（1）记 $X$单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求 $X$的分布列.
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_1,A_2$和 $A_3$表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 $B$表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）。
① $P\left(B\right)=\frac{2}{5}$；
② $P\left(B|A_1\right)=\frac{5}{11}$；
③事件 $B$与事件 $A_1$相互独立；
④ $A_1,A_2$, $A_3$是两两互斥的事件；
⑤ $P\left(B\right)$的值不能确定，因为它与 $A_1,A_2$, $A_3$中空间哪一个发生有关

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出 $n$瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 $n$瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。
现设 $n=4$，分别以 $a_1,a_2,a_3,a_4$表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 $X=\left|1-a_1\right|+\left|2-a_2\right|+\left|3-a_3\right|+\left|4-a_4\right|$，则 $X$是对两次排序的偏离程度的一种描述。
(Ⅰ)写出 $X$的可能值集合；
(Ⅱ)假设 $a_1,a_2,a_3,a_4$等可能地为1,2,3,4的各种排列，求 $X$的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 $X\le 2$，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

从如图所示的长方形区域内任取一个点 $M(x,y)$ ，则点 $M$ 取自阴影部分部分的概率为   .

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：

(1)估计该校男生的人数；

(2)估计该校学生身高在170～185cm的概率；

(3)从样本中身高在180～190cm的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm的概率．

已知一种材料的最佳入量在110 $g$到210 $g$之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是

在区间 $\left[-1,2\right]$上随机取一个数 $x$，则 $\left|x\right|\le 1$的概率为

已知随机变量 $Z$服从正态分布 $N(0,e^2)$,若 $P(Z>2)=0.023$,则 $P(-2\le Z\le 2)=$（）

样本中共有五个个体，其值分别为 $a$,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 $A,B,C,D$四个问题，规则如下：
每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题 $A,B,C,D$分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
每位参加者按问题 $A,B,C,D$顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 $A,B,C,D$回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用 $\zeta$表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $\zeta$的分布列和数学的 $E\zeta$.

已知随机变量 $X$服从正态分布 $N$(3.1)，且 $P(2\le X\le 4)=0.6826$，则 $P(X>4)=$（   ）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为 $(490,495]$ ， $（495,500]$ ，…… $（510,515]$ ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。

设 $S$是不等式 $x^2-x-6\le 0$的解集，整数 $m,n\in S$。
（Ⅰ）记"使得 $m+n=0$成立的有序数组 $\left(m,n\right)$"为事件 $A$，试列举 $A$包含的基本事件；
（Ⅱ）设 $\xi =m^2$,求 $\xi$的分布列及其数学期望 $E\xi$。

某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p.q\left(p>q\right)$ ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 $\xi$ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求 $p,q$ 的值；
(Ⅲ)求数学期望 $E\xi$ 。

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 $a＝$ .若要从身高在[120,130）,[130，140) , [140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140150]内的学生中选取的人数应为 .

某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 $X$，则 $X$的数学期望为（  ）.

设 $y=f\left(x\right)$为区间 $\left[0,1\right]$上的连续函数,且恒有 $0\le f\left(x\right)\le 1$,可以用随机模拟方法近似计算积分 ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$，先产生两组（每组 $N$个）区间 $\left[0,1\right]$上的均匀随机数 $x_1,x_2,\cdots ,x_N$和 $y_1,y_2,\cdots ,y_N$，由此得到 $N$个点 $\left(x_1,y_1\right)\left(i=1,2,\cdots ,N\right)$,再数出其中满足 $y_1=f\left(x_1\right)\left(i=1,2,\cdots ,N\right)$的点数 $N_1$，那么由随机模拟方案可得积分 ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$的近似值为    .

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有 $99\%$的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.
附：

甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为  和 .

某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记 $\xi$为射手射击3次后的总的分数，求 $\xi$的分布列。

两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 $\frac{2}{3}$和 $\frac{3}{4}$，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（   ）

为了比较注射 $A,B$ 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物 $A$ ，另一组注射药物 $B$ .
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；

（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物 $A$ 和 $B$ 后的试验结果.（疱疹面积单位： $m{m}^2$ ）表1：注射药物 $A$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表.

（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为"注射药物 $A$ 后的疱疹面积与注射药物 $B$ 后的疱疹面积有差异".

如图，一个小球从 $M$ 处投入，通过管道自上而下落 $A$ 或 $B$ 或 $C$ 。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 $A$ ， $B$ ， $C$ ，则分别设为l，2，3等奖．

（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量 $\xi$ 为获得 $k$ ( $k=1,2,3$ )等奖的折扣率，求随机变量 $\xi$ 的分布列及期望 $E\xi$ ；
(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量 $\eta$ 为获得1等奖或2等奖的人次，求 $P(\eta =2)$ ．

一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 $p_1$和 $p_2$.则（   ）.

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令 $\xi$表示走出迷宫所需的时间．
(1)求 $\xi$的分布列；
(2)求 $\xi$的数学期望．

某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 $\frac{16}{25}$，则该队员每次罚球的命中率为    .

在甲、乙等6个单位参加的一次"唱读讲传"演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：
（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数 $\zeta$的分布列与期望。

如图，由 $M$到 $N$的电路中有4个元件，分别标为 $T_1,T_2,T_3,T_4$，电流能通过 $T_1,T_2,T_3$的概率都是 $p$，电流能通过 $T_4$的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_1,T_2,T_3$中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求 $p$；
（Ⅱ）求电流能在 $M$与 $N$之间通过的概率；
（Ⅲ） $\xi$表示 $T_1,T_2,T_3,T_4$中能通过电流的元件个数，求 $\xi$的期望．

投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记"硬币正面向上"为事件 $A$,"骰子向上的点数是3"为事件 $B$,则事件 $A,B$中至少有一件发生的概率是（   ）

将参加夏令营的600名学生编号为:001，002，……600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495住在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数一次为（   ）

某射手射击所得环数 $\xi$ 的分布列如下：

已知 $\xi$ 的期望E $\xi$ =8.9，则y的值为   。

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有"奖励一瓶"或"谢谢购买"字样，购买一瓶若其瓶盖内印有"奖励一瓶"字样即为中奖，中奖概率为 $\frac{1}{6}$.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数 $\xi$的分布列及数学期望 $E\xi$.

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评
审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 $0.5$，复审的稿件能通过评审的概率为 $0.3$．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）记 $X$表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求 $X$的分布列及期望．