江苏省扬州市高三第四次模拟考试数学试题

已知集合     ▲   .

“”是“”的         条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）

复数，，则复数在复平面内对应的点位于第     ▲   .象限．

某人5 次上班所花的时间（单位：分钟）分别为，若这组数据的平均数为10，则其方差为     ▲   .

从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为     ▲   .

若将函数的图象向左移个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数的最小值为     ▲   .

设 为互不重合的平面， 是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①
②
③
④若 ；
其中正确命题的序号为      ▲   .

函数在处的切线方程为     ▲   .

执行右边的程序框图，若，则输出的S=     ▲   .

已知函数，且关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围是     ▲   .

已知二次函数的值域为，则的最小值
为     ▲   .

已知椭圆与抛物线有相同的焦点，是椭圆与抛物线的的交点，若经过焦点，则椭圆的离心率为     ▲   .

在中，，点是内心，且，
则     ▲   .

已知等差数列的前n项和为，若，
，则下列四个命题中真命题的序号为     ▲   .
①；②；③；  ④

（本小题14分）
如图，在直三棱柱中，，点在边上，。
（1）求证：平面；
（2）如果点是的中点，求证：平面 .

（本小题14分）
已知函数 的图像如图所示，直线 是其两条对称轴。
（1）求函数 的解析式并写出函数的单调增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值。

（本小题14分）
已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且克该种矿石的价值为元。
（1）写出（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；
（2）若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石，求价值损失的百分率；
（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

（本小题16分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，焦点 在直线 上，直线 与抛物线相交于 两点， 为抛物线上一动点（不同于 ），直线 分别交该抛物线的准线 于点 。
（1）求抛物线方程；
（2）求证：以 为直径的圆 经过焦点 ，且当 为抛物线的顶点时，圆 与直线 相切。

（本小题16分）
已知数列满足：（为常数），数列中，。
（1）求；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。

（本小题16分）
已知函数，为正常数。
（1）若，且，求函数的单调增区间；
（2）若，且对任意，，都有，求的的取值范围。

已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．

已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设点是曲线C上的任意一点，求到直线的距离的最大值．

如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分）。某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜。对于这12道选择题，试求：
（1）该考生得分为60分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．