[北京]2012届北京市东城区高三上学期期末考试理科数学试卷

已知集合，，则

A．

B．

C．

D．

在复平面内，复数对应的点位于

下列命题中正确的是

一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左)视图的面积为

A．

B．

C．

D．

在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为

A．

B．

C．

D．

如图所示，点是函数的图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，则的值为

A．

B．

C．

D．

对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是

已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为

A．

B．

C．

D．

已知，那么的值为　 ．

若非零向量满足，则与的夹角为  ．

已知函数那么的值为  ．

在等差数列中，若，则数列的公差等于  ；
其前项和的最大值为  ．

如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为
，若，则该椭圆的离心率是  .

已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是  ．

（本小题共13分）已知△中，角，，的对边分别为，，，且，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求△的面积．

（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）证明：≤．

（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，使平面；
（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大小．

（本小题共13分）已知函数，其中．
（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；
（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求．

（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

(本小题共14分)已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．
（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.