北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理科数学试卷

若集合，且，则集合可能是（   ）

A．

B．

C．

D．

在极坐标系中，圆被直线截得的弦长为（   ）

A．

B．

C．

D．

执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为 （   ）

已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（    ）

二项式的展开式中，常数项的值是（    ）

A．

B．

C．

D．

等差数列中，，则该数列前项之和为（   ）

A．

B．

C．

D．

在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（    ）

如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：
①双曲线是黄金双曲线；
②双曲线是黄金双曲线；
③在双曲线中， F₁为左焦点， A₂为右顶点， B₁（0，b），若∠F₁ B₁ A₂,则该双曲线是黄金双曲线；
④在双曲线中，过焦点F₂作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为（    ）

，为复数的共轭复数，则___________．

如图，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA、DC 的延长线交于点P，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD＝ ___________．

设不等式组 表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆内的概率为___________．

如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则        ．

若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有          种（用数字作答）．

已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①；      
②；
③；     
④．
其中是“垂直对点集”的序号是          ．

（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记.

（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）设的角所对的边分别为，若，且，，求.

（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：

 
下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：

 
（Ⅰ）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望．

（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．

（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求的取值范围．

（本小题满分14分）已知椭圆C:离心率，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．    

（本小题满分13分）设数列满足：
①；
②所有项；
③．
设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（Ⅰ）若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；
（Ⅱ）设，求数列的伴随数列的前30项之和；
（Ⅲ）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列
的前项和．