江苏省泰州市高三第二次模拟考试数学试卷

若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数=        ．

已知集合，，若，则        ．

某高中共有人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样
的方法从中抽取人，那么高二年级被抽取的人数为        ．

已知双曲线的渐近线方程为，则        ．

执行右边的伪代码后，输出的结果是           ．

若圆柱的侧面积和体积的值都是，则该圆柱的高为           ．

小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是           ．

在等比数列中，已知，则             ．

已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为        ．

已知实数满足，则的取值范围是       ．

设函数和的图象在轴左、右两侧靠近
轴的交点分别为、，已知为原点，则             ．

若斜率互为相反数且相交于点的两条直线被圆：所截得的弦长之比为，则这两条直线的斜率之积为             ．

若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是        ．

在中，为边上一点，，若的外心恰在线段上，
则      ．

已知向量，，．
（1）若∥，求角的大小；
（2）若，求的值．

如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，，点分别是的中点．

（1）求证： ∥平面；
（2）求证：平面平面．

如图，某市有一条东西走向的公路，现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路．在施工过程中发现在处的正北百米的处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以为圆心，百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路、，欲再新建一条公路，点、分别在公路、上，且要求与圆相切．

（1）当距处百米时，求的长；
（2）当公路长最短时，求的长． 

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求面积的最大值．

已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和， 是公差为的等差数列．
（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；
（2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；
（3）若（为常数，），，求证：对任意的，数列单调递减．

己知，其中常数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求证：；
（3）求证：．

（本小题满分10分，几何证明选讲）
如图，是圆的切线，切点为，是过圆心的割线且交圆于点，过作的切线交于点．

求证：（1）；（2）．

（本小题满分10分，矩阵与变换）
已知矩阵，矩阵，直线经矩阵 所对应的变换得到直线，直线又经矩阵所对应的变换得到直线．
（1）求的值；（2）求直线的方程．

（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为．
（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知为椭圆上一点，求到直线的距离的最小值．

（本小题满分10分，不等式选讲）
已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围．

（本小题满分10分）某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了名幸运之星．这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品．
（1）求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；
（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望．

（本小题满分10分） 已知（），是关于的次多项式；
（1）若恒成立，求和的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，，，…，，
使得．