已知函数 $f\left(x\right)=a{e}^x-\mathit{lnx}-1$．

（1）设 $x=2$是 $f\left(x\right)$的极值点．求 $a$，并求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）证明：当 $a\ge \frac{1}{e}$时， $f\left(x\right)\ge 0$．