如图，若要在宽 $\mathit{AD}$为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂 $\mathit{BC}$长2米，且与灯柱 $\mathit{AB}$成 $120°$角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 $\mathit{CO}$与灯臂 $\mathit{BC}$垂直，当灯罩的轴线 $\mathit{CO}$通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱 $\mathit{AB}$高应该设计为多少米（结果保留根号）？