已知抛物线y=ax²﹣2ax+c﹣1的顶点在直线y=﹣上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α²+β²=10．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设这个抛物线与y轴的交点为P，H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；
（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．