如图，已知正三棱柱$ABC=A_1{B}_1{C}_1$的各棱长都是4，$E$是$BC$的中点，动点$F$在侧棱$C{C}_1$上，且不与点$C$重合．
（1）当$CF=1$时，求证：$EF\perp A_{1}C$；
（2）设二面角$C-AF-E$的大小为$\theta$，求$\tan \theta$的最小值．