已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x₁∈(0，＋∞)，∃x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明： ＋＋…＋<(n∈N^*，n≥2)．