已知抛物线$C$的顶点为$O(0,0)$,焦点$F\left(0,1\right)$

（Ⅰ）求抛物线$C$的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于$A,B$两点.若直线$OA,OB$分别交直线$l:y=x-2$于$M,N$两点，求$\left|MN\right|$的最小值．