如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点M在AD₁上移动,点N在BD上移动,D₁M=DN=a(0<a<),连接MN.

(1)证明对任意a∈(0,),总有MN∥平面DCC₁D₁.
(2)当a为何值时,MN的长最小?