正实数数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=1,a_2=5$,且 $\left\{{a_n}^2\right\}$成等差数列.
(1) 证明数列 $\left\{a_n\right\}$中有无穷多项为无理数；
(2)当 $n$为何值时， $a_n$为整数，并求出使 $a_n<200$的所有整数项的和.