图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 $\mathit{OABC}$.若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1,\angle \mathit{AOB}=\alpha$，则 $O{C}^2$的值为（ ）

构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想.在计算 $\text{tan}{15}^{\circ }$时，如图所示，在 $Rt△\mathit{ACB}$中， $\angle C={90}^{\circ },\angle \mathit{ABC}={30}^{\circ }$，延长 $\mathit{CB}$使 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，连接 $\mathit{AD}$，得 $\angle D={15}^{\circ }$，所以 $\text{tan}{15}^{\circ }=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{CD}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}$.类比这种方法，计算 $\text{tan}{22.5}^{\circ }$的值为（ ）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2,\mathit{BC}=4,\odot D$的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心 $O$重合，绕着 $O$点转动三角板，使它的一条直角边与 $\odot D$切于点 $H$，此时两直角边与 $\mathit{AD}$交于 $E,F$两点，则 $\text{tan}\angle \mathit{EFO}$的值为（ ）

在直角 $△\mathit{ABC}$中， $\angle B$为直角， $\angle A$的平分线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D,\mathit{BC}$边的中点为 $E$，且 $\mathit{BD}:\mathit{DE}:\mathit{EC}=1:2:3$，则 $\text{sin}\angle \mathit{BAC}=$（ ）

如图，点 $A$是双曲线 $y=\frac{k}{x}$上一点，过 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，交直线 $y=-x$于点 $B$，点 $D$是 $x$轴上一点，连接 $\mathit{BD}$交双曲线于点 $C$，连接 $\mathit{AD}$，若 $\mathit{BC}:\mathit{CD}=3:2,△\mathit{ABD}$的面积为 $\frac{11}{4},\text{tan}\angle \mathit{ABD}=\frac{9}{5}$，则 $k$的值为（ ）